Como obter o volume Integral de uma hiperesfera

Apenas um círculo é o conjunto de todos os pontos em um plano bidimensional eqüidistantes de um ponto central e uma esfera é o conjunto de todos os pontos em três dimensões eqüidistantes de um ponto central, em matemática existem estruturas análogas , chamados hiperesferas , em espaços de dimensão maior do que três , que são o conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto central . Consequentemente , tal como o volume de uma esfera integrante em três dimensões pode ser determinada com o cálculo , pode assim os volumes integrais destas figuras de dimensões superiores . Instruções
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Definir o sistema de coordenadas que vai ser utilizado no problema . Embora qualquer sistema de coordenadas pode ser feita para o trabalho , uma variação sobre coordenadas polares esféricas funciona melhor. Como um exemplo , num espaço de n dimensões , definir r como a distância ao ponto de centro , como teta o ângulo azimutal e phi1 , phi2 , ... fi ( n - 2 ) como coordenadas angulares que vão de 0 a pi radianos .
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Escreva o volume básico integral sobre todo o hypersphere . Este será o integral de 0 a alguns raio R para R , e ao longo da totalidade dos ângulos possíveis para cada coordenada angular , 0 a 2pi para teta e 0 a pi para as restantes variáveis ​​. As integrais múltiplas são tomadas de um através do elemento volume.
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Substitua o elemento de volume com os termos apropriados computados a partir do determinante jacobiano . Por exemplo, para um hypersphere em quatro dimensões , será : .

r ^ 3 sin ^ 2 ( phi1 ) pecado ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

Para obter mais ajuda calcular o jacobiano , consulte o link recurso apropriado.
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Anote a resposta final depois de tomar cada integrante em sucessão . No nosso exemplo do hypersphere quadridimensional a resposta final é:

(pi ^ 2/2) * raio ^ 4

.