o ranking de um sistema de equações lineares é o número de linhas ou colunas da matriz dos coeficientes desse sistema linearmente independentes . A matriz de coeficientes é uma grade dos números que precedem as variáveis do sistema . No nosso exemplo , a matriz dos coeficientes seria :
4 5
4 -2
Para uma linha ( ou coluna ), a ser linearmente independente de outra linha ( ou coluna ) , ele deve ser o caso de que uma linha (ou coluna ) não pode ser produzido por uma combinação linear de uma outra linha ( ou coluna ) . Você não deve ser capaz de múltiplas todos os elementos da linha 1 por um único número para obter linha 2 Você pode ver que todas as colunas no nosso exemplo coeficientes da matriz são linearmente independentes , pois não existe nenhum número que nos permitiria multiplicar 4 para obter 5 e -2 . Você também pode ver que as linhas na nossa matriz exemplo são linearmente independentes . Não existe um único número que, quando multiplicado por 4 produz 4 , e , quando multiplicado por 5 produz -2 . Isto significa que a posição de nosso sistema exemplo é 2.
A matriz aumentada é uma combinação da matriz de coeficientes eo vetor solução. No nosso exemplo a matriz aumentada seria:
4 5 1
4 -2 2
Porque essa matriz tem duas linhas , o valor mais alto o posto da matriz aumentada pode , eventualmente, ser é 2 Portanto, para este exemplo , o posto da matriz aumentada é igual ao posto da matriz de coeficientes.
extensão do sistema
no nosso exemplo de sistema de equações , há apenas duas variáveis . As equações descrevem linhas no espaço bidimensional. Se fôssemos para adicionar outro conjunto de variáveis das equações que descrevem aviões no espaço tridimensional. Isto pode ser estendido a diversas dimensões . Em vez de pensar em termos de sistemas com qualquer número específico de variáveis , podemos pensar em termos de um sistema genérico com n variáveis . Isso nos permite classificar as propriedades gerais de todos os sistemas de equações , independentemente do número de variáveis no sistema.
Sem solução
Se o posto de a matriz de coeficientes não é igual ao posto da matriz aumentada , não há solução . Não há um conjunto único de valores que cumpra os requisitos descritos no sistema de equações. O sistema de equações não podem ser resolvidas . Se o sistema não pode ser resolvido , o sistema é dito ser inconsistente.
Uma solução única
Há um conjunto único e exclusivo de soluções para o sistema de equações se o posto da matriz coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada e eles são ambos iguais ao número de colunas da matriz dos coeficientes . Não há um único conjunto de valores que cumpre os requisitos descritos pelo sistema de equações. Se há uma solução única , o sistema é dito ser independente.
Um infinito número de soluções
O sistema de equações tem um número infinito de soluções, se as posto da matriz coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada e eles estão a menos do que o número de linhas na matriz coeficientes. Thiere é um infinitamente grande conjunto de valores que preencham os requisitos descritos pelo sistema de equações. Se há um número infinito de soluções , o sistema é dito ser dependente.